Teoria dos números – Problema 1

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Problema

Encontre todos os números inteiros positivos [math]n[/math] tal que [math]n^2+1[/math]  seja divisível por [math]n-1[/math]

Resposta

Podemos representar [math]n^2+1[/math]  da seguinte forma:

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Se  [math]n[/math] tem que ser um inteiro positivo, tanto  [math]n^2+1[/math] quanto  [math]n-1[/math] serão inteiros. Além disso, ser divisível, como especificado no problema significa que  [math]n^2+1[/math] é um multiplo de [math]n-1[/math]. Ou seja, a divisão de [math]n^2+1[/math] por [math]n-1[/math] é uma divisão exata. Sendo assim, se dividirmos ambos os lados da equação 1 por [math]n-1[/math] teremos:

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No caso, único e exclusivo, da divisão exata de números inteiros, a divisão possui a propriedade distributiva. Logo a divisão de [math]n-11[/math] por [math]n+1[/math] também terá que ser exata.

Desta forma, como o enunciado determina que [math]n[/math] deverá ser um inteiro positivo tudo que temos que fazer é encontrar os números inteiros que garantam que [math]n-1[/math] dividido por [math]n+1[/math] seja um inteiro.

O primeiro número inteiro positivo é o número 1, substituindo o resultado será 0, um número inteiro.

O segundo é o 2. Neste caso o numerador será 1 e o denominador 2 resultando em um número real. Observe que para todos os inteiros maiores que 1, o denominador será maior que numerador resultando sempre em um quociente real.

A resposta é [math]n=1[/math]