Gradiente, divergente e rotacional

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Aprender eletromagnetismo não é fácil. Ensinar, pior ainda. Meus alunos, apesar de esforçados e dedicados esbaram em problemas de álgebra básica e se perdem na matemática esquecendo os conceitos mais importantes. Uma das coisas que sinto falta em todos os livros que leio são definições simples. Coisas que possam ajudar o entendimento do conceito, antes mesmo de ver a matemática.

Um dos principais problemas se encontra no cálculo vetorial. Integrais de linha e superfície, e as operações diferenciais com vetores são o pior pesadelo de qualquer estudante. Não por causa da matemática. A matemática até que é simples. O problema é que é muito difícil entender os conceitos sem um pouco de abstração e é muito difícil abstrair sem extrapolar. Como entender sem comparação?

Quando falamos em campos existem três operações que são indispensáveis: gradiente, divergente e rotacional. Coisa de fazer homens feitos chorarem como meninos. Meu saudoso primeiro professor de eletromagnetismo, costumava dizer que o eletromagnetismo separa os homens dos canalhas. Os homens choram e pronto os canalhas colam.

Talvez a forma mais simples de entender estes conceitos venha dos fluidos. Humm… Pensando bem, vamos nos limitar a água. Todo mundo já bebeu um copo d’água, já viu uma cachoeira, nem que seja em filme e, certamente já tomou banho.

Vamos fazer o seguinte, saia a rua com um copo d’água. Escolha um ponto qualquer e deixe pingar, uma gota atrás da outra. A intensidade, ou magnitude do fluxo e a direção deste fluxo de água escorrendo indicam o gradiente da altitude e latitude do ponto onde você está no planeta. Neste caso, estamos falando de um campo escalar. Um pouco de covardia da minha parte, mas ainda assim, uma boa metáfora.

Continue deixando a água pingar do seu copo.

Eventualmente ela formará um pequeno riacho, ou irá se espalhar por uma grande área. Se, de alguma forma você quantizar este espalhamento irá encontrar o divergente.

Finalmente, em algum momento da sua vida você tirou a tampa de um tanque ou banheira cheia e viu a água descer pelo cano em um redemoinho. A água circula em torno do centro. Se você medir a força que provoca esta circulação e sua direção encontrará o que chamamos de rotacional. Estou simplificando, mas a ideia é essa.

Por fim, imagine que você pudesse determinar a topologia da Terra ao seu bel prazer. E escolhesse o ponto mais interessante do planeta para deixar a água do seu copo escorrer. Ela iria escorrer, dependendo do valor do gradiente e poderia espalhar dependendo apenas do valor do divergente. Contudo, de forma nenhuma iria circular.

Não importa a topologia que escolher nem o ponto onde vai deixar a água escorrer a água não vai circular. Isso por que a gravidade, campo responsável por fazer a água escorrer é um campo conservativo. Ou seja, o fluxo, ladeira abaixo, provocado pelo gradiente, não será capaz de provocar uma circulação. É isso que significa dizer que o rotacional do gradiente é zero. Outra coisa que você não pode esquecer: o rotacional é um vetor. Sua magnitude indica a força de circulação e sua direção a direção desta circulação.

2 thoughts on “Gradiente, divergente e rotacional

  1. Mauricio Carvalho dos Santos

    Excelente. O gradiente neste caso corresponde ao aclive ou declive, sendo um valor expresso em percentagem ou graus.
    Se a água escorrer várias vezes seguindo o gradiente ela termina por produzir um desgaste que equivale a linha de fluxo. É fácil perceber que as curvas de nível do campo de altitudes e as linhas de fluxo são ortogonais.

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